Основание пирамиды - треугольник, со сторонами 20,21,29 см. Боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания углы равные 45 градусов. Найти высоту пирамиды и площадь всей поверхности пирамиды?

Ага, Пифагорова тройка (20, 21, 29). Проверьте сами - сумма квадратов первых 2 равна квадрату третьего.  Итак, в основании пирамиды прямоугольный треугольник с площадью Sosn =20*21/2 = 210, и грани пирамиды имеют одинаковый наклон.  Смотрите, чтобы много не считать. Вершина пирамиды проектируется в центр ВПИСАННОЙ окружности. Потому что при равном наклоне граней все апофемы равны (они равны h = H/sin(Ф), Н - высота пирамиды, Ф - двугранный угол между гранью и основанием). Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания, значит, И ЕЁ проекция на основание будет равноудалена от сторон основания. То есть  - это центр вписанной окружности. Проекцией апофемы является радиус вписанной окружности r.  Причем апофема (любая) h = r/cos(Ф); Боковая поверхность при одинаковых апофемах вычисляется так Sb = (1/2)*Р*h; где Р - периметр основания (это просто сумма площадей всех треугольников-боковых граней),  Sb = (1/2)*P*r/cos(Ф) = Sosn/cos(Ф); Эта формула крайне полезная, но я не уверен, что программе она есть, поэтому просто её вывел по ходу решения. Итак, H = r*tg(Ф), в нашем случае H = r; r = (a + b - c)/2 = 6; (могу объяснить, как эта формула получается, если надо, это в прямоугольном треугольнике работает. Но можно и так сосчитать, r = 2*S/P = 420/(20+21+29) = 6;) H = 6; это высота пирамиды Sosn = 210;  Sb = 210/(корень(2)/2) = 210*корень(2); Полная поверхность 210*(1 + корень(2));