Вокруг треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найти АК, если ВС=а, угол В=бетта, угол С=гамма.

По расширенной  теореме синусов AC\sin B=AB\sin c=BC\sin A=2R   BC=a A=180-B-C A\2=90-B\2-C\2 значит R=BC\(2sin A)=a\(2sin (180-B-C))=a\(2sin (B+C))   по свойству вписанных углов спряжающих одну и ту же дугу угол СВК=угол А\2=угол ВСК   окружность описання вокруг треугольника АВС будет и описанной окружностью вокруг треугольника АВК По расширенной  теореме синусов АК\sin (В+А\2)=2R   АК=2R * sin (В+А\2)=2*a\(2sin (B+C))*sin (B+90-B\2-C\2)= =a\(sin (B+C))*sin (90+B\2-C\2)=a\(sin (B+C))*cos (C\2-B\2)= =a\(sin (бетта+гамма.))*cos (гамма.\2-бетта\2)