Результаты исследований по решению прямой спектральной задачи докладывались на секции «Дифференциальные уравнения и теория операторов» Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых «Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании», которая проходила с 30 октября по 3 ноября 2007 года на базе Башкирского государственного университета. Есть две публикации по теме исследования.

Первая глава работы посвящена прямой задаче определения собственных частот крутильных колебаний вала с дисками по известным моментам инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении. Решение сводится к системе n - обыкновенных уравнений относительно неизвестных собственных частот крутильных колебаний вала. Из этой системы получены частотные уравнения для вала с двумя, тремя, четырьмя дисками. Сделаны соответствующие вычисления, составлена программа в математическом пакете Maple.

Во второй главе приведена постановка обратной спектральной задачи диагностирования характеристик вала с дисками по спектру частот его колебаний. Алгоритм диагностирования сведен к решению систем алгебраических уравнений. Рассмотрены диагностирования моментов инерции масс дисков по собственным частотам колебаний вала. Задача решена для вала с тремя, четырьмя дисками. В этой же главе диагностируются коэффициенты жесткостей участков вала при кручении между дисками. Для решения обратных задач составлены программы в математическом пакете Maple.

В заключение работы сделаны выводы по полученным результатам решений прямой и обратной задач. Проанализирована практическая значимость полученных результатов задачи диагностирования.

1. Определение собственных частот крутильных колебаний вала с дисками

1.1 Постановка прямой спектральной задачи Колебания вала с одним диском

Прямая задача: Определить собственные частоты крутильных колебаний вала, состоящего из п (п =1, 2, 3, 4,…) дисков с известными моментами инерции масс, укрепленных на стальном валу с известными жесткостями.

Рассмотрение крутильных колебаний начнем с простейшего случая круглого вала постоянного сечения, несущего на свободном конце диск, верхний конец вала заделан (рис. 1).

Пусть в силу каких-либо причин диск (маховик), изображенный на чертеже, получил в плоскости вращения, которой является плоскость, перпендикулярная чертежу, перемещения на угол . На тот же угол повернется и жестко связанный с диском вал. Представленная самой себе такая система будет совершать колебания, поддерживаемые силами упругости вала, заключающиеся в повторных вращательных движениях.

Рис. 1 Вал с одним диском

Известно, что колебания, представляющие ряд повторных вращательных перемещений от положения равновесия, называются колебаниями кручения или, крутильными.

Установим величину нагрузки, вызывающей единицу статической деформации вала. Статической деформацией вала в данном случае будет угол закручивания, определяемый по известной формуле сопротивления материалов

(1.0)

где М — крутящий момент;

—длина вала;

I_p —полярный момент инерции вала;

— модуль касательной упругости.

Нагрузкой, вызывающей единицу статической деформации, т. е. угол закручивания, равный одному радиану, будет из формулы (1.0) некоторый момент; будем обозначать этот момент буквой kи называть жесткостью вала на кручение.

(1.1)

Если вал повернется на угол , то в нем возникнет момент внутренних сил упругости, равный

(1.1а)

Этот момент по принципу Даламбера должен быть равен моменту сил инерции диска. (Массой вала мы пренебрегаем.) Если угловое ускорение обозначить

и момент инерции диска относительно продольной вертикальной оси вала

,

где Q —вес диска, D—его диаметр, g— ускорение силы тяжести.

В случае кольцевого диска (шкив, колесо)

то момент сил инерции диска будет равен