Дипломная работа: Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний
Теперь можем составить дифференциальное уравнение колебательного движения нашего вала, что удобнее всего сделать в форме Лагранжа. В нашем случае за обобщенную координату необходимо принять угол закручивания 
, тогда уравнение Лагранжа примет вид:
в этом уравнении 
Находим значения частных производных, входящих в это уравнение:
Подставим полученные значения в уравнение Лагранжа
Освобождаясь от коэффициента при дифференциале и полагая
получим
т. е. известное нам уравнение (1.3), решение которого
.
Частота этого колебательного движения
И период
(2.2)
Следовательно, для учета собственной массы вала, имеющего колебания, необходимо к моменту инерции диска, сидящего на валу, прибавить одну треть момента инерции вала.
Рассмотрим случай вала, лежащего в двух подшипниках (влияние которых на колебания мы, в виду незначительности, не учитываем), несущего на концах два диска (маховика, шкива и т. д.) (рисунок 2).
Рис. 2 Вал с двумя дисками
Вал будет испытывать крутильные колебания только при условии вращения дисков в разные стороны, что может быть достигнуто приложением к дискам двух равных и прямо противоположных моментов. После удаления моментов в системе, состоящей из вала и двух; дисков, возникнут крутильные колебания. В каждый момент времени угловые скорости дисков будут направлены противоположно друг другу. Левый диск и некоторая часть вала, примыкающая к нему, будет вращаться, допустим, по часовой стрелке, а правый диск и его часть вала против часовой стрелки. В таком случае на валу обязательно должно быть сечение, в котором нет никакого вращения. Вал можно рассматривать как жестко заделанный в сечении, пт, причем, в нашем примере, левая часть вращается по часовой и правая против часовой стрелки.
Сечение, остающееся во время колебания системы неподвижным, называется узлом колебания.
Периоды колебаний одинаковые для обеих частей одного и того же вала могут быть найдены из формулы (1.6),
(2.3)
Задача, таким образом, сводится к определению расположения узла колебаний по длине вала, т. е. длин l1 и l2 . Уравнение (2.3) показывает, что узел колебания делит вал обратно пропорционально моментам инерции дисков, т. е.
или 
Второе уравнение для определения положения узла колебаний будет