Дипломная работа: Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку

.

Вирішуючи рівняння, одержимо

,

тобто

,

Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<o, то крапка - нестійкий вузол, якщо d>0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.15) переводить у систему:

(2.20)

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі u, тобто при z=0. Одержуємо

Отже

Отже, маємо дві крапки N1 (0,2) і N2 (0,-2).

Досліджуємо характер цих крапок звичайним способом. Складемо характеристичне рівняння в крапці N1 (0,2).

(2.21)

.

Отже

, ,

Скористаємося паралельним переносом

і підставимо z, u у систему (2.20). Одержимо нову систему:

(2.22)

Складемо характеристичне рівняння в крапці N2 (0,-2)

Характеристичними числами для крапки N2 (0,-2), будуть , - складний стан рівноваги. Для визначення характеру стану рівноваги скористаємося теоремою [2, с. 196-198]. Теорема 2.1 Нехай крапка (0,0) - ізольований стан рівноваги системи: