Дипломная работа: Дослідження універсальних абелевих алгебр

Приведемо деякі визначення з

Визначення 1.5. Відображення з алгебри в алгебру називається гомоморфізмом, якщо для будь-яких елементів і кожної -арної операції ( ) справедлива рівність

Якщо ж – нульарна операція, то думаємо

Гомоморфізм алгебри на називається ізоморфізмом і позначається . Гомоморфізм алгебри в себе називається ендоморфизмом алгебри . Ізоморфізм алгебри в себе називається її автоморфізмом.

Визначення 1.6. Конгруенцією на алгебрі називається всяка підалгебра прямого квадрата , що володіє наступними властивостями:

1) (рефлексивність): для всіх ;

2) (симетричність): якщо , те ;

3) (транзитивність): якщо й , те .

Відзначимо, що умови 1) – 3) означають, що – еквивалентністъ на множині .

Визначення 1.7. Нехай – гомоморфізм алгебри в. Ядром гомоморфізму називається підмножина

У роботі [3] приводяться наступні теореми про ізоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфізму є конгруенцією.

Визначення 1.8. Якщо – конгруенція на алгебрі й , та множина

називається класом конгруенції . Множина всіх класів конгруенції позначають через . При цьому для кожної -арної операції вважають , а для -арної операції , де , – . алгебру, Що Вийшла, називають фактор-алгеброю алгебри по конгруенції .

Теорема Перша теорема про ізоморфизмах 2 Якщо – гомоморфізм алгебри в , те

Теорема Друга теорема про ізоморфизмах 3 Нехай конгруенція на алгебрі , – підалгебра алгебри . Тоді

Визначення 1.9. Якщо , – конгруенції на алгебрі й утримується в , те позначимо

і назвемо фактором алгебри або фактором на .

Теорема Третя теорема про ізоморфизмах 4 Нехай – фактор на алгебрі . Тоді

Визначення 1.10. Якщо й – конгруенції алгебри , то думають