Дипломная работа: Дослідження універсальних абелевих алгебр

3) якщо

те

Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються вхідними у фіксоване мальцевське різноманіття .

Наступні властивості отримані Смітом[3], сформулюємо у вигляді леми.

Лема 2.1. Нехай . Тоді:

1) існує єдина конгруенція , що задовольняє визначенню 2.1;

2) ;

3) якщо

те

З леми 2.1. і леми Цорна треба, що для довільної конгруенції на алгебрі завжди існує найбільша конгруенція, що централізує . Вона називається централізатором конгруенції в і позначається .

Зокрема, якщо , те централізатор у будемо позначати .

Лема 2.2. Нехай , – конгруенції на алгебрі , , , . Тоді справедливі наступні твердження:

1) ;

2) , де ;

3) якщо виконується одне з наступних відносин:

4) із завжди треба

Доказ:

1) Очевидно, що – конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. У силу пункту 1) леми 2.1. і .

2) – конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. Значить