Дипломная работа: Дослідження універсальних абелевих алгебр

Визначення 1.11. Клас алгебраїчних систем називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожний гомоморфний образ кожної -системи належить ;

2) усякий кінцевий піддекартовий добуток -систем належить .

Визначення 1.12. Формальне вираження , де й – слова сигнатури в рахунковому алфавіті , називається тотожністю сигнатури . Скажемо, що в алгебрі виконане тотожність , якщо після заміни букв будь-якими елементами алгебри й здійснення вхідних у слова й операцій ліворуч і праворуч виходить той самий елемент алгебри , тобто для будь-яких в алгебрі має місце рівність

Визначення 1.13. Клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини . Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

Нагадаємо, що клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини .

Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

Усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевському різноманіттю. Використовуються стандартні позначення й визначення з[2].

У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.

Якщо – конгруенція на алгебрі , то

суміжний клас алгебри по конгруенції . або – діагональ алгебри .

Для довільні конгруенції й на алгебрі будемо позначати множину всіх конгруенції на алгебрі таких, що

тоді й тільки тоді, коли

Тому що , та множина не порожньо.

Наступне визначення дається в роботі[2].

Визначення 2.1. Нехай і – конгруенції на алгебрі . Тоді централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується