А.И. Яблонский [8, c. 1752] и В.Ф. Филипцов [9, c. 469] изучали квадратичные системы с предположением, что частными интегралом являлись алгебраические кривые четвёртого порядка.

В данной работе рассматривается система:

и проводится качественное исследование в целом этой системы при условии, что её частными интегралами являются две кривые–первого и второго порядков. Качественное исследование включает в себя нахождение и исследование состояний равновесия, а также определение направлений траекторий в состоянии равновесия, исследование бесконечно-удалённой части плоскости и качественная картина для построенных систем.

При определённых ограничениях на коэффициенты системы и интегралов строятся классы дифференциальных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой соотношениями.

Работа состоит из двух разделов.

В первом разделе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами.

Во втором разделе проводится качественное исследование в целом выделенных в первом разделе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

1. Построение квадратичной двумерной стационарной системы

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой второго порядка

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений:

В данной работе будем рассматривать систему, в случае когда с₁ =а₂ =0 , то есть систему:

(1.1)

Пусть система (1.1) в качестве частного интеграла имеет интеграл вида:

(1.2)

где F_k (x, y) – однородный полином от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмём кривую второго порядка вида:

F ( x , y )= y ² + αxy + βx ² + γy +δ x +σ=0 . (1.3)

Согласно [8, c. 1752–1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

(1.4)

где L ( x , y )= mx + ny + p , m , n , p -постоянные.

Тогда для частного интеграла (1.3) получим равенство:

( α y+2βx+δ) (ax+by+a₁ x² +2b₁ xy)+(2y+αx+γ) (cx+dy+2xy+c₂ y² )=

(y² +αxy+βx² +γy+δx+σ) (mx+ny+k).

Будем предполагать, что коэффициенты системы (1.1) b ₁ = b ₂ = c ₂ =1 , тогда для интеграла (1.3) получим равенство:

(α y +2 βx + δ ) ( ax + by +а₁ x ² +2 xy )+(2 y + αx + γ ) ( cx + dy +2 xy + y ² )=