Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Теорема 1.3 Система

Имеет частные интегралы вида:

y ² +2 ( a ₁ –2) xy +( a ₁ –2)² x ² +2 (2 a ₁ –3) d +

+2 (a₁ –2) (2a₁ –3) dx+(2a₁ –1) d² =0

и (a₁ –2) x+y+(2a₁ –3) d=0,

При условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а₁ и d по формулам (1.17) и в₁ =в₂ =с₂ =1.

2. Рассмотрим случай:

(a ₁ –2) a–a ₁ ( a ₁ –2) b + c–a ₁ d =0.

Выразим из этого условия коэффициент с , получим

с= a ₁ ( a ₁ –2) b + a ₁ d – (a ₁ –2) a .

Воспользуемся предположением из первого случая, что в=2 d , d ≠0, тогда коэффициент с=а₁ (2а₁ –3) d – (а₁ –2) а.

Так как d -любое число, неравное нулю, предположим, что а=2а₁ d .

Из соотношения (a ₁ –2) a – a ₁ ( a ₁ –2) b + c – a ₁ d =0, при условиях, что b =2 d , a =2 a ₁ d , d -любое число, d ≠0, получим формулы, выражающие коэффициенты системы (1.1) через параметр а₁ и коэффициент d , то есть: a =2 a ₁ d ,

b =2 d , (1.19)

c = a ₁ d .

Равенства (1.6) – (1.9) и (1.14) при условии, что имеют место формулы (1.19), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a ₁ –2),

β=(a ₁ –2)² ,

γ=2 (а₁ –1) d,

δ=2 (a₁ – ) (a₁ –2) d, (1.20)

σ=(a₁ – )² d² ,

n =m ,

p =m d, a₁ ≠2, d≠0, m ≠0.

Теорема 1.4 Система

2 a ₁ dx +2 dy + a ₁ x ² +2 xy ,

= a ₁ dx + dy +2 xy + y ²

Имеет частные интегралы вида:

y² +2 (a₁ –2) xy+(a₁ –2)² x² +2 (a₁ –1) dy+2 (a₁ –) (a₁ –2) dx+(a₁ –)² d² =0