Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

( a ₁ –2) x + y +(2 a ₁ –3) d =0,

При условиях, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры а₁ и d по формулам (1.19) и в₁ =в₂ =с₂ =1, а₁ ≠2, а₁ ≠0, d-любое число.

2 Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование одной системы из первого класса построенных двумерных стационарных систем

Будем проводить исследование системы в предположении, что коэффициенты её определяются согласно формулам (1.17):

a= -d, (1.17)

b=2d,

c=2a₁ (a₁ –1) d, d≠0, а ₁ ≠2,

с учётом в₁ =в₂ =с₂ =1 и предполагая, что параметр а₁ =1.

Тогда система (1.1) запишется в виде:

dx+2dy+x² +2xy, (2.1)

dy+2xy+y²

Интегральные кривые в этом случаи имеют вид:

y² –2xy+x² –2dy+2dx+d² =0, (2.2)

x–y+d=0.

При рассмотрении этого случая заметим, что интегральная кривая второго порядка y ² –2 xy + x ² –2 dy +2 dx + d ² =0 представляет собой две совпадающие прямые вида x – y + d =0 , то есть:

(y–x)² –2d (y–x)+d² =0,

(y–x) – d)² =0,

y–x–d=0,

x – y + d =0.

Значит, если а₁ =в₁ =в₂ =с₂ =1 и если выполняются условия (1.17) система (1.1) имеет только один частный интеграл вида:

x – y + d =0. (2.3)

Найдём состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и, решив полученную систему, найдём точки покоя системы.

Система имеет четыре состояния равновесия:

О (0,0), А (-d, 0), B(-d, d), C(-).

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия.

1. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение для точки имеет вид О (0,0):

=0,