Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ слева и справа, получим равенства:

2βа ₁ –mβ=0, (1.5₁ )

(4-n)+(2+a₁ –m)α=0, (1.5₂ )

(3-n)+4-m=0, (1.5₃ )

n=2, (1.5₄ )

(2a –k)β+(a₁ –m)δ+cα=0, (1.5₅ )

2bβ+(2-n)δ+(a –k)α+2c+dα+(2-m)γ=0, (1.5₆ )

bα+2d+(1-n)γ–k=0, (1.5₇ )

a δ–kδ+cγ–mσ=0, (1.5₈ )

bδ–kγ+dγ–nσ=0, (1.5₉ )

kσ=0,

σ≠0, так как кривая не проходит через начало координат, значит k=0.

Из равенств (1.5₁ ) – (1.5₄ ) получим, что

n =2, m=2a_1,

α=2 (a₁ – 2), β=(a₁ – 2)² (1.6)

Для нахождения коэффициентов γ и δ рассматриваемого интеграла используем равенства (1.5₅ ) и (1.5₇ ):

γ=(a ₁ –2) b+2d,(1.7)

δ=≠0.

Коэффициенты α, β, γ, δ, m , n подставляем в равенство (1.5₆ ), получим условие на коэффициенты системы:

(a ₁ –2) a – a ₁ ( a ₁ –2) b + c – a ₁ d =0. (1.8)

Для нахождения коэффициента σ используем уравнение (1.5₈ ). Получим:

σ=. (1.9)

Подставим коэффициенты γ, δ,σ и к=0 в равенство (1.5₉ ), получим второе условие, связывающее коэффициенты системы:

2 (a₁ –2)² a² –2a₁ (a₁ –2)² ab+2 (a₁ –2) ac-2a₁ ² (a₁ –2) bd+2a₁ cd-2a₁ ² d² =0,

которое можно записать в виде:

2 ((a₁ –2) a–a₁ (a₁ –2) b–a₁ d+c) ((a₁ –2) a+a₁ d)=0 (1.10)

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.1 Система