Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Составим характеристическое уравнение в точке С(-).Применяя равенства (2.4), получим:

=0,

.

Характеристические числа для точки С(-) системы (2.1) будут λ₁ =d ,λ₂ =.

Корни λ₁ ,λ₂ –действительные, различных знаков, независимо от параметра d.

Значит, точка С(- ) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости на концах оси ОY. Преобразование x=, y= [1] переводит систему (2.1) в систему:

(2.5)

где t = zτ , dt = zdτ .

Для исследования состояний равновесий на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку N_o (0,0).Составим характеристическое уравнение в точке No(0,0):

=0.

Получаем, что

Корни λ₁ ,λ₂ –действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка N_o (0,0) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости вне концов оси ОУ преобразованием [1] . Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.6)

где t = zτ , dt = zdτ .

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть при z=0, получаем:

Следовательно, u ₁ =0, u ₂ =1.

Таким образом, получаем две точки N₁ (0,0), N₂ (0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1. Исследуем точку N₁ (0,0).

Составляем характеристическое уравнение в точке N₁ (0,0):

=0,

λ₁ =-1, λ₂ =1.

Корни λ₁ , λ₂ –действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₁ (0,0) – седло.

2. Исследуем точку N₂ (0,1).

Составим характеристическое уравнение в точке N₂ (0,1):

P_z =–1–2u-2dz-4duz,