Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Имеет частный интеграл y² +αxy+βx² +γy+δx+σ=0, коэффициенты которого выражаются формулами:

α=2 (a₁ –2) ,

β=(a₁ –2)² ,

γ=( a₁ –2) b+2d,

δ =≠0,

σ =,

При условиях, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a₁ –2) a–a₁ (a-2) b+c–a₁ d =0,

2 ((a₁ –2) a – a₁ (a₁ –2) b–a₁ d+c) ((a₁ –2) a+a₁ d)=0,

и а₁ ≠0, а₁ ≠2, с₁ =а₂ =0, a ₁ = b ₁ = c ₂ =1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Пусть система (1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл вида:

m x + n y + p =0. (1.11)

Будем рассматривать теперь систему:

(1.12)

Согласно формуле (1.4), где L ( x , y )= Mx + Ny + P , M , N , P -постоянные, получаем равенство:

m (ax+by+a₁ x² +2xy)+n (cx+dy+2xy+y² )=(m x+n y+p ) (Mx+Ny+P).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ слева и справа, получим равенства:

(a₁ –M) m =0

(2-N) m +(2-M) n =0 (1.13)

(N-1) n =0

(a–P) m +cn –Mp =0

bm +( d – P ) n – Np =0 (1.14)

Pp =0

Предполагаем, что кривая не проходит через начало координат, тогда p ≠0 , значит Р=0 .

Из равенств (1.13) получаем, что М=а_1, N=1,

n = m , (1.15)

p = ( ) m , m ≠0.

Подставим эти коэффициенты в уравнение (1.14) и получим ещё одно условие на коэффициенты системы, которое совпадает с условием (1.8), то есть: