Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Характеристическими числами для точки О (0,0) системы (2.1) будут

Корни характеристического уравнения действительные, одного знака, но в зависимости от параметра d точка О (0,0) – устойчивый узел, если d<0; точка О (0,0) – неустойчивый узел, если d>0.

Из Главы 1. случай d =0 не рассматривается.

2. Исследуем точку А (-d, 0).

Составим характеристическое уравнение в точке А (-d, 0).

P (x, y)=dx+2dy+x² +2xy,

Q ( x , y )= dy +2 xy + y ² .

Отсюда, получим:

P_x =d+2x+2y, P_y =2d+2x, (2.4)

Q_x =2y,

Q_y = d +2 x +2 y .

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

=0.

Итак, получаем:

=0.

(– d –λ)² =0.

Характеристические числа для точки А (-d, 0) системы (2.1) будут

Корни λ₁ ,λ₂ – действительные, одного знака. В зависимости от параметра d.

Точка А (-d, 0) является неустойчивым узлом, если d<0; устойчивым узлом, если d>0.

3. Исследуем точкуВ (-d, d).

Составим характеристическое уравнение в точке В (-d, d).

Согласно равенствам (2.4) характеристическое уравнение примет вид:

=0,

² =0,

λ₁ =λ₂ =d.

λ₁ ,λ₂ – характеристические числа для точки В (- d , d ) системы (2.4).

Корни λ₁ ,λ₂ –действительные, одного знака зависящие от параметра d.

Если d<0, то точка В (- d , d ) – устойчивый узел; если d>0, то точка В (- d , d ) – неустойчивый узел.