Дипломная работа: Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Итак, имеет место следующая теорема:

Теорема 1.2 Система

Имеет частный интеграл mx+ny+p=0, коэффициенты которого выражаются формулами

n = m , p = ( ) m , m ≠0,

При условии, что коэффициенты системы связаны соотношением:

(a₁ –2) a–a₁ (a₁ –2) b+c–a₁ d =0 иа ₁ ≠0, а ₁ ≠2.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у двумерной стационарной системы двух частных интегралов в виде кривых первого и второго порядков

В подразделах 1.1–1.2 мы получили что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривой первого порядка и кривой второго порядка, при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(a₁ –2) a–a₁ (a₁ –2) b+c–a₁ d =0, (1.16)

2 ((a₁ –2) a – a₁ (a₁ –2) b–a₁ d+c) ((a₁ –2) a+a₁ d)=0.

Причём а₁ ≠0, а₁ ≠2, в₁ =в₂ =с₂ =1.

1. Рассмотримслучай(a₁ –2) a–a₁ (a₁ –2) b+c–a₁ d =0 , (a₁ –2) a+a₁ d=0 .

Из этих равенств получили:

а = -d , d ≠0

c = a ₁ ( a ₁ –2) b +2 a ₁ d .

Так как коэффициент d можно взять любым, неравным нулю, тогда предположим, что b =2 d . Из следующих предположений, получаем:

b =2 d ,

a = -d , (1.17)

c =2 a ₁ ( a ₁ –1) d , d ≠0, а₁ ≠2.

Получили, что коэффициенты системы (1.1) определяются формулами (1.17), при условиях (1.16), в которых параметры b ₁ = b ₂ =с₂ =1, а₁ ≠0.

Выражения (1.6), (1.9), (1.15) при условии, что имеют место (1.17), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.11):

α=2 (a ₁ –2),

β=(a ₁ –2)² ,

γ=2 (2а₁ – 3) d ,

δ=2 (а₁ – 2) (2а₁ –3) d , (1.18)

σ=(2а₁ – 1) d² ,

n =m ,

p =m d, m ≠0, d≠0, a₁ ≠2, a₁ ≠0 .