Дипломная работа: Кручение стержней

рис. 2

где угол закручивания на единицу длины. Будем считать угол закручивания малым. Рассмотрим сечение стержня, которое находится на расстоянии z от закрепленного конца. Точка Р с координатами x, y, z в результате деформации перемещается в точку Р’(x+u, y+v, z+w). На рисунке 2 показана точка Р’1, являющаяся проекцией Р’ на плоскость xy.

Предположим, что в плоскости xy точка Р перемещается в Р’1 при повороте на угол закручивания , причем ОРОР’1= r. Если угол мал, то cos1 и sin . Следовательно,

Подставляя значение (1), получаем

(2)

таким оказывается закон изменения u и v. В отношении w не будем пока делать никаких допущений, кроме того, что w зависит только от x и y и не зависит от z . Следовательно, можно записать

(3)

где - некоторая функция от x и y .Так как w определяет искажение (депланацию) торцевых сечений, то функцию можно назвать функцией депланацией. Необходимо выяснить, будут ли отвечать принятые выражения для перемещений, вместе с неизвестной еще функцией , напряженному состоянию, удовлетворяющему заданным граничным условиям. Эти условия в данном случае состоят в том, что на обоих торцах должны действовать, только крутящие моменты и что боковая поверхность стержня свободна от сил.

Пользуясь приведенными выше выражениями для перемещений, находим:

(4)

Из закона Гука следует:

(5)

Подставим эти значения в уравнения равновесия, которые будут выполняться, в случае, если функция удовлетворяет уравнению

для всех точек поперечного сечения R стержня, здесь

- оператор Лапласа.

Обратимся к граничным условиям. Так как

на боковой поверхности стержня, то уравнений примет следующий вид:

на контуре S,

где S - контурная линия поперечного сечения стержня.

Покажем, далее, что на двух других граничных поверхностях, а именно, на торцах стержня, определяемых плоскостями z=0 и z=L, напряжение (5) сводятся к скручивающей паре, и результирующие силы отсутствуют. Результирующая сила в направлении x равна

; (8)

это выражение можно привести к виду

. (9)

При получении уравнения (9) были использованы соотношения