Дипломная работа: Кручение стержней

должно иметь одно и то же значение при y=b и y=-b. Это условие может быть выполнено, если производные являются симметричными функциям от y. Во-вторых, при будем иметь

Это условие удовлетворяется, если Xn(x) являются антисимметричными функциями относительно x. Исходя из этих соображений, находим, что c2=c4=0.Условие (34) будет выполнено, если , или

Отсюда находим

.

Поскольку c1 и c2 – произвольные постоянные, функцию можно записать в следующем виде:

(39)

Где

;

постоянные An следует определить таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (35).

Дифференцируя функцию по y и подставляя из уравнения (35) получаем

; (40)

здесь для упрощения записи введено обозначение:

.

Коэффициенты An можно определить, пользуясь схемой, применяемой при разложении функции в ряд Фурье. Умножим обе части уравнения (40) на и проинтегрируем все члены по x. Учитывая соотношения

получим

при

= a при m=n

и

Вычислив значения интегралов в этом выражении, найдем

или

следовательно, решение будет иметь вид:

(41)

Постоянную кручения J можно определить по формуле (15):