Дипломная работа: Кручение стержней

соответствуют компоненты деформации:

Подстановка этих величин в уравнения совместимости показывают, что первые три уравнения и последнее из них тождественно удовлетворяются. Четвертое и пятое уравнение приводятся к виду:

Интегрируя их, находим

Эту постоянную можно определить, если подставить сюда выражения

Тогда получим

Или

Подставляя значение с в уравнение совместимости, получим дифференциальное уравнение

для области R, (51)

которому должна удовлетворять функция . Отметим, что уравнение (51) можно получить непосредственно, продифференцировав уравнение (49) и затем, исключив из них функцию . Но тогда остается нераскрытым то обстоятельство, что уравнение (51) является уравнением совместимости.

Граничное условие (8), выраженное через , имеет вид:

на контуре S.

В параграфе §1.1 были уже записаны соотношения

(13)

Поэтому условие на контуре можно записать в виде

или на контуре S. (52)

Заметим, что при вычислении напряжений нам необходимы лишь производные от и что значение постоянной с2 в уравнении (52) не влияет на решение задачи. Поэтому можно принять с2=0. Окончательно решение задачи о кручении сводится к определению функции , удовлетворяющей уравнению

для области R (51)

и условию на контуре S. (52)

Сравнивая эти уравнения с уравнениями для мембраны, мы видим, что между ними имеется полная аналогия, если отношениеположить равным 2, и если форма контура мембраны совпадает с формой поперечного сечения стержня. Мембранная аналогия эффективно используется для экспериментального определения функций напряжений. Техника проведения такого эксперимента, а также опытов, связанных с другими аналогиями, подробно описана в специальных пособиях.

рис.10

Мембранная аналогия может быть использована не только для численного определения натяжений; она дает также наглядную картину напряженного состояния. На рис.10 изображена такая мембрана и нанесены горизонтали изогнутой поверхности. Рассмотрим некоторую точку В срединной поверхности мембраны. Прогиб вдоль горизонтали остается постоянным, так что