Дипломная работа: Простейшие способы обработки опытных данных

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Введение.

Данная тема не достаточно широко освещена в математической литературе.В математической статистике при обработке опытных данных чаще всего применяются способ средних и способ наименьших квадратов.

В настоящее время эти способы широко применяются при обработке количественных результатов естественно-научных опытов, технических данных, астрономических и геодезически наблюдений и измерений.

Также возможно применение этих способов при обработке полученных практическим путем данных физических процессов. Например, изучая силу тока в проводниках с постоянным сопротивлением, мы можем зафиксировать значение силы тока при определенном напряжении, то есть не во всех точках, а в небольшом количестве. Применяя способ средних и способ наименьших квадратов, мы имеем возможность с помощью полученных точек подобрать такую функцию, которая бы наиболее близко проходила через эти точки. Это позволяет более полно использовать информацию из наблюдений.

Цели данной работы:

1. Овладение простейшими способами обработки опытных данных.

2. С помощью способа средних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденных функционально зависимых величин подобрать функцию, которая наиболее точно описывала бы данный процесс.

3. Применить описанные методы для описания реальных процессов.

§ 1. Простейшие способы обработки опытных данных.

1.1 . Подбор параметров способом средних.

Способ средних основывается на допущении, что наи­более подходящей линией служит та, для которой алгебраическая сумма укло­нений равна нулю. Для того чтобы найти этим способом неизвестные постоян­ные в эмпирической формуле, сначала подставляем в эту формулу все пары наблюдавшихся или замеренных значений xи yи получаем столько уклонений, сколько пар значений (x ; y)в таблице (уклонения—вертикальные расстояния от данных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения по группам, составляя столько групп, сколько неизвестных параметров эмпи­рической формулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений по каждой группе, получим систему линейных уравнений относительно пара­метров.

a) Частный случай.S= A*t^q .

t	t1	t2	t3	t4	. . .	. . .	tn
S	S1	S2	S3	S4	. . .	. . .	Sn

Уклонения имеют вид d = A*t^q – S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему урав­нений относительно параметров A и q:

(l<n)

Решение этой системы затруднительно. Поэтому без большей потери в точности, можно приравнять нулю сумму уклонений логарифма S, то есть

d’ = lg A + q * lg T – lg S.

Тогда система примет вид

(l<n)

Из системы и определяют q и S.

b) Частныйслучай . S = a₀ + a₁ *t + a₂ *t² .

t	t1	t2	t3	t4	. . .	. . .	tn
S	S1	S2	S3	S4	. . .	. . .	Sn

Уклонения имеют вид d =a₀ + a₁ * t + a₂ * t² - S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему

урав­нений относительно параметров a_0, a_1, a₂ :

(l<m<n)

Из системы и определяют a_0, a_1, a₂ .

1.2 .Подбор параметров способом наименьших квадратов.

На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально связанных величин xи yизвестны nпар соответствующих значений ,которые могут быть представлены в виде таблицы

x	x1	x2	x3	. . .	xn
y	y1	y2	y3	. . .	yn

Требуется в наперед заданной формулеy = f(x,a₁ , a₂ , …,a_m )определить mпараметров a₁ , a₂ , …,a_m (m < n)так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные n пар значений x иy.

Оценки параметров a₁ , a₂ , …,a_m определяются из условия, чтобы сумма квадратов отклонений значений y, вычисленных по формуле, от заданных, то есть

L= å [f(x_k ,a₁ , a₂ , …,a_m ) – y_k ] ²

принимала наименьшее значение. Поэтому сам способ получил название способа наименьших квадратов.