Дипломная работа: Регресійний аналіз інтервальних даних

Якщо яка-небудь група об'єктів характеризується змінними і проведений експеримент, що складається з n досвідів, де в кожному досвіді ці змінні вимірюються один раз,то експериментатор одержує набір чисел: .

Але процес виміру не дає однозначний результат. Реально результатом виміру якої-небудь величини Х є два числа: - нижня границя і - верхня границя. Причому , де - істинне значення вимірюваної величини. Результат виміру можна записати як . Інтервальне число X може бути представлене іншим способом, а саме, , де . Тут - центр інтервалу (як правило не співпадає з ), а Δ_x - максимально можлива похибка виміру.

3.1 Метод найменших квадратів для інтервальних даних

Нехай математична модель задана:

(3.1.1)

де х = (х₁ , х₂ ,..., х_m ) - вектор впливаючих змінних, що піддаються виміру; - вектор оцінюваних параметрів моделі; у - відгук моделі (скаляр); Q(x,)- скалярна функція векторів х і ; і ε - випадкова похибка.

Нехай проведено n досвідів, причому в кожному досвіді обмірювані (один раз) значення відгуку (у ) і вектора факторів (х ). Результати вимірів можуть бути представлені в наступному виді:

де Х - матриця значень обмірюваного вектора (х ) в n досвідах; Y - вектор значень обмірюваного відгуку в n досвідах; Е - вектор випадкових помилок. Тоді виконується матричне співвідношення:

, (3.1.2)

де , причому - n-мірні вектора, які становлять матрицю

Введемо міру близькості між векторами і . В МНК в якості береться квадратична форма зважених квадратів нев'язань

,

тобто

де - матриця ваг, що не залежить від . Тоді як оцінка можна вибрати таке , при якому міра близькості d( Y,Q) приймає мінімальне значення, тобто

.

У загальному випадку рішення цього екстремального завдання може бути не єдиним. Тому надалі будемо мати на увазі одне із цих рішень. Воно може бути виражене у вигляді:

причому неперервні і дифференційовні по (Х,Y) Z , де Z - область визначення функції f (X,Y). Ці властивості функції f (X,Y) дають можливість використати підходи статистики інтервальних даних.

Перевага методу найменших квадратів полягає в порівняльній простоті й універсальності обчислювальних процедур. Однак не завжди оцінка МНК є самостійною, що обмежує його застосування на практиці.

Важливим частковим випадком є лінійний МНК, коли Q(x,) є лінійна функція від :

,

де = 1 , а - вільний член лінійної комбінації. Як відомо, у цьому випадку МНК-оцінка має вигляд:

Якщо матриця невироджена, то ця оцінка є єдиною. Якщо матриця ваг W одинична, то

Нехай виконуються наступні припущення щодо розподілу похибок :

- помилки мають нульові математичні очікування М{} = 0,