Дипломная работа: Регресійний аналіз інтервальних даних

вектора n(1), n(2) прямують до постійних значень відповідно. Тоді будемо називати нижньою асимптотичною нотною , а - верхньою асимптотичною нотною .

Розглянемо довірчу множину для вектора параметрів , тобто замкнута зв'язна множина точок в r-мірному евклідовому просторі така, що де α - довірча ймовірність, що відповідає B_α (α ≈ 1). Інакше кажучи, є область розсіювання випадкового вектора з довірчою ймовірністю α і числом досвідів n.

З визначення верхньої й нижньої нотни треба, щоб завжди

Відповідно до визначення нижньої асимптотичної нотни й верхньої асимптотичної нотни можна вважати, що при досить великій кількості спостережень n. Цей багатомірний інтервал описує r-мірний гіперпаралелепіпед P.

Розіб'ємо P на L гіперпаралелепіпедів. Нехай - внутрішня точка k-го гіперпаралелепіпеда. З огляду на властивості довірчої множини і спрямовуючи L до нескінченності, можна стверджувати, що

де

Таким чином, безліч C характеризує невизначеність при оцінюванні вектора . Його можна назвати довірчою множиною в статистиці інтервальних даних.

Введемо деяку міру М(X), що характеризує "величину" множини . По визначенню міри вона задовольняє умові: якщо

і то

Прикладом такої міри є площа для r = 2 і об’єма для r = 3. Тоді:

М(C ) = М(P) + М(F), (3.1.6)

де F = C \ P. Тут М(F) характеризує міру статистичної невизначеності, у більшості випадків вона спадає при збільшенні числа досвідів n. У той же час М(P) характеризує міру інтервальної невизначеності, і, як правило, М(P) прагне до деякої постійної величини при збільшенні числа досвідів n. Нехай тепер потрібно знайти те число досвідів, при якому статистична невизначеність становить δ-ю частина загальної невизначеності, тобто

М(F) = δ М(C ), (4.1.7)

де δ < 1 . Тоді, підставивши співвідношення (4.1.7) у рівність (4.1. 6) і вирішивши рівняння відносно n, одержимо шукане число досвідів. В асимптотичній математичній статистиці інтервальних даних воно називається "раціональним обсягом вибірки".

3.2 Метод найменших квадратів для лінійної моделі

Розглянемо найбільш важливий для практики окремий випадок МНК, коли модель є лінійною.

Для простоти опису перетворень пронормуємо змінні х_ij ,у_i . Наступним чином:

де

Тоді

Надалі будемо вважати, що розглянуті змінні пронормовані описаним образом, і верхні індекси опустимо. Для полегшення демонстрації основних ідей приймемо досить природні припущення.

1. Для розглянутих змінних існують наступні межі:

2. Кількість досвідів n таке, що можна користуватися асимптотичними результатами, отриманими при

3. Погрішності виміру задовольняють одному з наступних типів обмежень: