Дипломная работа: Сингулярные интегралы

Это дает , откуда следует равенство

, (4)

Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид

. (5)

Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле .

Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм :

. (6)

В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5)

.

Но . (7)

Действительно, складывая равенства

(k =0, 1, …, n -1),

находим , откуда и следует (7).

С помощью (7) получаем . (8)

Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера . Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.

Для этого рассмотрим функцию f (t )=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (k =1, 2, …).

Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и .

Но выражая интегралом Фейера, получим, что

. (9)

Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A ( x , α ) не зависит от n .

Отсюда следует, что .

Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β , π ]. Сопоставляя это с (9), находим, что

,

так что функция есть ядро.

Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но .

Следовательно и

. (10)

С другой стороны, когда , то , так что