Дипломная работа: Сравнительный анализ численных методов

f_i - значения интерполируемой функции в i-том узле;

- коэффициент интерполяции Лагранжа

.

Можно сказать, что L₁ (x) - линейная функция x, поэтому такую интерполяцию называют линейной (она производится для двух точек).

Интерполяционный многочлен Лагранжа обладает тем недостатком, что в случае, когда добавляются новые узлы интерполяции, все слагаемые необходимо пересчитывать. Но, с другой стороны, он обладает тем достоинством, что интервалы между узлами могут быть неравномерными.

Обратная интерполяция заключается в построении зависимости x (y) и, затем, с помощью такого многочлена легко можно найти корень нелинейного уравнения.

Многочлен Лагранжа в этом случае выглядит следующим образом:

,

где

x_i - значения узлов;

- коэффициент интерполяции Лагранжа

.

Если задано достаточно много узлов на отрезке [a,b], то интерполирующие функции на отрезке [a,b] представляют собой непрерывную функцию, уже первая производная которой является кусочно-непрерывной.

В узлах, где происходит стыковка отдельных интерполяционных многочленов, производная рвется. Этого недостатка не имеет интерполяция сплайнами.

3.3 Интерполяция сплайнами

Пусть отрезок [a, b] разбит на n одинаковых частей точками x₀ , x_1, …x_n .

Примем

x₀ =а, x_n =b, h= (b-a) /n, x_i = a+ih.

Сплайном называется непрерывная на [a, b] и имеющая непрерывные производные функция, на каждом из частичных участков представляющая собой алгебраический многочлен. Порядком сплайна называется старший порядок многочлена, а дефектом сплайна называется разность между порядком сплайна и старшей непрерывной производной.

Например, линейная интерполяция - это сплайн первого порядка с дефектом 1.

Наиболее широкое распространение на практике имеет кубический сплайн. Если сплайн используется для интерполяции некоторой функции и ее производных, т.е. в узлах интерполяции значение сплайна и ее производных некоторых порядков совпадают со значениями функции и ее производных соответствующих порядков, то такой сплайн называется интерполяционным.

Если интерполяционный сплайн на заданном отрезке рассматривать как совокупность кубических сплайнов для каждой пары точек, такая интерполяция носит название локальной интерполяции.

Этот сплайн не прерывен вместе с первой производной, но непрерывность второй производной не гарантируется, т.е. дефект сплайна равен 2. Если этот сплайн имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a, b], т.е. имеет дефект 1, то такой сплайн носит название глобального.

Для построения кубического сплайна используется формула:

Для построения глобального сплайна, т.е. сплайна с дефектом 1 необходимо, начиная со 2-го узла, поставить условие непрерывности 2-й производной, т.е.2-я производная при подходе к точке 2 и дальше слева (x₁ -0) должна равняться второй производной при подходе справа (x₁ +0).

Такие равенства можно составить для всех внутренних узлов x₁ до x_{n -1} . Затем используем условия на краях x₀ и x_n , получаем систему уравнений, которая и обеспечит дефект 1.

Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих участках, построение таких равенств не представляет особого труда.