Дипломная работа: Старший и верхний центральный показатели линейной системы

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’=, то верхнее среднее значение функции совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть

Доказательство.

Для доказательства равенства

докажем два неравенства:

1) ;

2) _.

1) Из определения 1.7 следует, что является верхней функцией, то есть

, = 0;

итак,

(P’).

Следовательно, .

2) Пусть ─ любая верхняя функция семейства P’:

для любой (P’).

Тогда по определению 1.6

.

Так как ─ любое, то

для любой функции (P).

Следовательно,

_.

Тем самым утверждение 2 доказано.

Следствие 1. (из утверждений 1 и 2)

Пусть P =─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции , то есть P’= , и P’P , то верхнее среднее значение функции не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть