Изложение: Основные понятия математического анализа

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а₁ +а₂ +а₃ +…+а_n +…=- знакоположительный ряд.

Обозначим a_n =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Очень часто встречаются ряды - ряд Дерихле . Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.

Пусть задан знакопеременный ряд а₁ +а₂ +а₃ +…+а_n +…= (1) (члены как + так и -).

Возьмем ряд (3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.

Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).

Если ряд (3) расходится, а:

- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;

- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.

При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.

При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.

Схема

Если (3) – сходится (1) - сходится абсолютно.

Если (3) – расходится

При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.

Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный , то расходится не только ряд (3), но и ряд (1) .

Если ряд – знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости :

Признак Лейбница

Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn0) выполняются условия:

1 . b1b2b3b4…;

2 . , - то данный ряд сходится условно .