Изложение: Основные понятия математического анализа

Частное решение неоднородного уравнения находится методом неопределенных коэффициентов .

Для нахождения частных решений рассмотрим несколько случаев.

1. Пусть правая часть f(x) имеет вид:

, где P_n (x) – многочлен n–ой степени.

Тогда возможны следующие 3 случая:

А) . Если ‘а’ не является корнем характеристического уравнения k² +pk+q=0, то частное решение имеет вид: , где Q_n (x) – многочлен той же степени, что и P_n (x), только с неопределенными коэффициентами.

Например .

P_n (x)=8 - многочлен 0-ой степени (n=0). Q_n (x)=A;

P_n (x)=2x-3 - многочлен 1-ой степени (n=1). Q_n (x)=Ax+B;

P_n (x)=x² - многочлен 2-ой степени (n=2). Q_n (x)=Ax² +Bx+C;

P_n (x)=3x³ -3x - многочлен 3-ей степени (n=3). Q_n (x)=Ax³ +Bx² +Cx+D.

Замечание . Многочлен Q_n (x) всегда должен быть полный, т.е. содержать все степени х. Коэффициенты А,В,С,Д и т.д. находим по методу неопределенных коэффициентов непосредственно при решении каждого конкретного уравнения.

Б). Если а является однократным корнем характеристического уравнения k² +pk+q=0, то есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .

В). Если а является двукратным корнем характеристического уравнения k² +pk+q=0, то есть совпадает с двумя корнями характеристического уравнения, то частное решение имеет вид: .

Итог .

Если , то , где r– кратность корня ‘а’ в характеристическом уравнении, т.е. r=0, если ‘а’ не есть корень; r=1, если ‘а’ совпадает с одним из корней; r=2, если ‘а’ совпадает с двумя корнями.

2. Если правая часть f(x) имеет вид:, где P_n ( x ) –многочлен n–ой степени; Q_m ( x ) -многочлен m–ой степени.

Тогда возможны следующие два случая:

А). Если не является корнем характеристического уравнения k² +pk+q=0 (), то частное решение имеет вид: , где S_N (x), T_N (x)–многочлены степени N с неопределенными коэффициентами, где N=max из n и m (N=max{n,m}), т.е. степень N многочленов S_N (x) и T_N (x) равна наибольшей из степеней многочленов P_n (x) и Q_m (x).

Б). Если является корнем характеристического уравнения k² +pk+q=0 (), то частное решение имеет вид:

Замечание .

- Если в правой части f(x) неоднородного уравнения во 2 случае отсутствует одно из слагаемых, т.е. P_n (x)=0 или Q_m (x)=0, то частное решение все равно записывается в полоном виде.

- Если правая часть f(x) неоднородного уравнения в 1 и 2 случаях есть сумма нескольких функций (f(x)= f₁ (x)+ f₂ (x)+… f_n (x)), то .

- Так же рассматриваем все комбинации при расчете : cosx, sinx, xcosx, xsinx,x² cosx, x² sinx.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом (z) называется выражение z=x+iy, где х и у- действительные числа, i-мнимая единица.

i определяется: i² =-1 , отсюда .

х- действительная часть (x=Rez);

у- мнимая часть (y=Imz).