Математика / Книга: Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової

Книга: Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової

2. існувала лівостороння границя функції в точці, тобто існувало число ;

3. існувала правостороння границя функції – число

;

4. лівостороння й правостороння границя були рівні

5. правостороння й лівостороння границя в точці дорівнювали значенню функції в цій точці, тобто

Якщо хоч одна с цих умов не виконується в точці, яка є внутрішньою точкою проміжку, в якому визначена функція, то функція в цій точці називається розривною .

Якщо функція визначена на відрізку , то в точках а і b можна ставити питання тільки про односторонню неперервність, а саме, в точці а — про неперервність справа, а в точці b — зліва. Тому природно постає питання про введення таких понять, як неперервність функції в точці зліва і справа.

Функція називається неперервною в точці зліва , якщо виконуються умови:

1. визначена в точці (існує число );

2. в точці існує лівостороння границя функції;

3. лівостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, якщо неперервна в точці зліва, то виконується співвідношення

де — лівостороння границя функції в точці .

Функція називається неперервною в точці справа , якщо виконуються умови:

1. визначена в точці (існує число );

2. в точці існує правостороння границя функції;

3. правостороння границя функції дорівнює значенню функції в точці .

Отже, для неперервної функції справа повинно виконуватися співвідношення

де — правостороння границя функції в точці .

Точкою розриву функції називають точку в околі якої функція визначена, але в самій точці не задовольняє умові неперервності, що .

1. Точка є точкою усувного розриву , якщо існує , проте не визначена в точці , або . Даний розрив можна усунути, для цього до визначають певним чином функцію в точці ;