Розв’язання. В точці функція не визначена. Знайдемо при границі даної функції зліва та справа:

Оскільки односторонні границі скінченні, але

,

то є точкою розриву першого роду.

Стрибок в даному випадку в точці дорівнює 2.

Приклад 2. Дослідити на неперервність функцію

Розв’язання. Дана функція визначена у всіх точках за винятком х = 0. Знайдемо односторонні границі функції в цій точці:

Рівність означає, що х = 0 є точкою усувного розриву.

Приклад 3. Визначити характер розриву функції

Розв’язання. Функція в точці не визначена.

При маємо , при . Отже, , .

Тому точка є точкою розриву другого роду.

2. Диференціальне числення функції однієї змінної

2.1 Похідна функції в точці

Похідною функції в точці х називається границя (як що вона існує) відношення приросту функції до приросту аргументу , коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто:

. (2.1)

Функція, яка має скінчену похідну в точці х , називається диференційовною в цій точці. Приріст диференційовної в точці х функції має вигляд

, (2.2)

де – нескінченно мала функція при , тобто диференційовна функція неперервна.

Якщо , тоді функція в точці х має нескінченну похідну.

Основні правила диференціювання

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Похідні основних елементарних функцій