Курсовая работа: Абелевы универсальные алгебры

Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда

Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому

Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, то есть централизует .

Докажем обратное включение. Пусть

Тогда на алгебре определена конгруэнция

удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и , .

Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что – конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что . Покажем поэтому, что централизует .

Так как

то

то есть удовлетворяет условию 1) определения 2.1.

Если , то

следовательно,

Пусть имеет место (3) и .

Так как