Курсовая работа: Алгоритм Кеннета-Джексона для опису фазових перетворень у бінарних сплавах. Опис дифузії

,

де - довжина першого стрибка, - довжина n-го стрибка. Відстань Х відповідає добутку довжини стрибка d на певний множник, при чому ця відстань може бути додатною, від’ємною і рівною нулю. Насправді середня величина Х після багатьох атомних стрибків в точності рівна нулю, хоча діапазон зміни Х лежить в межах від +nd до –nd. Це середнє є алгебраїчним, і те що вона рівна нулю говорить, що додатній напрямок стрибків не має переваг над від’ємним. Але існують і такі середні значення, які не рівні нулю. До них відносяться, середнє квадратичне, яке є мірою загальної відстані, пройденої атомом від початкового положення.

Середнє значення (позначається ) буде рівне

Це співвідношення зручніше записати у вигляді

Тобто це означає, що потрібна велика кількість стрибків, щоб значення Х мали достатню величину.

Запишемо це рівняння в іншій формі. Кількість стрибків n виразимо, як добуток стрибків f і часу t, необхідного для здійснення n атомних стрибків

(*)

Параметр залежить від властивостей матеріалу і від температури.

В 1D коефіцієнт дифузії Dвизначається як

Підставивши у формулу (*) це значення отримаємо

(**)

Середньоквадратична відстань, яку проходить дуфундуючий атом, змінюється пропорційно кореню квадратному із часу. Коефіцієнт ½ введений у рівняння для коефіцієнту дифузії для того, щоб узгодити його з рівнянням (**).

Зазвичай атоми роблять стрибки в усіх трьох напрямках. Тому можна розрахувати середньоквадратичне радіальне зміщення

в будь-якому напрямку від початкової точки

Тоді

,

де f – частота, з якою атом змінює свій напрям в решітці. В багатьох таких задачах цікавим є результуюче дифузійне переміщення відносно певної координати, хоча атом здійснює стрибки і в інших напрямках. За умовами симетрії рівне

(***)

Тому «трьохвимірний» коефіцієнт дифузії визначається так

Щоб встановити залежність коефіцієнта дифузії від температури використаємо вираз для частоти. Для кубічних кристалів отримаємо:

Усі параметри перед експонентою зазвичай об’єднують в один коефіцієнт , а сумарну енергію позначають Q:

Величина - частотний фактор, а Q – енергія активації.

Опишемо дифузію ансамбля незалежних частинок, які розподілені в просторі з початковою концентрацією . Концентрацію цих частинок у довільний момент часу tможна виразити через наступний інтеграл