Курсовая работа: Беселеві функції
1. Беселеві функції з будь-яким індексом
Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:
. (1)
Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:
,
,
,
те рівняння (1) прикмет наступний вид:
. (2)
:
,
Нехай є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:
,
звідки (після ділення на )
.
Записавши це у вигляді:
,
знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від
,
; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна
. Звідси:
;
;
;
;
.
В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від
; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна
. Звідси:
,
;
,
.
Таким чином, ,
,
повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:
,
(3)
,
,
з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.
Обернено, якщо ,
,
задовольняють рівнянням (3), тобто
рішення рівняння (2). Справді, підставляючи
в ліву частину (2) і ділячи потім на
, одержимо:
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--