Курсовая работа: Беселеві функції
отже,
.
Але , тому
. (15)
За допомогою (10') знаходимо:
,
а з огляду на (14)
,
отже, при цілому позитивному
. (14`)
За допомогою (11') знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
. (15`)
4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему функцій
(з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
Складемо ряд
,
де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному
(приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність
. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.
Функція
(16)
(де x лежить в області визначення функцій системи ,
– усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню
) називається виробляючою функцією системи
.
Обернено, нехай задана функція , де
пробігає деяку множину,
перебуває усередині деякого кільця, що залежить від
, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо
при кожному
аналітичне відносно
усередині відповідного кільця, тобто
виробляюча функція деякої системи
функцій. Справді, розклавши при кожному
функцію
в ряд Лорана по ступенях
:
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою
.