Курсовая работа: Беселеві функції
;
Отже,
. (11)
Таким чином, операція , застосована до
, знижує в цьому вираженні індекс
на одиницю. Застосовуючи цю операцію
раз, одержуємо:
. (11`)
З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:
;
;
.
Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:
;
;
.
По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:
, (12)
. (13)
Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через ,
. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи
):
, (13`)
звідки послідовно одержуємо:
,
, …………………
3. Беселеві функції з напівцілим індексом
Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де
– ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
,
,
отже,
.
Але , значить:
. (14)
Далі
,