Курсовая работа: Беселеві функції

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція , застосована до , знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

; ; .

Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:

; ; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через , . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але , значить:

. (14)

Далі

,