Курсовая работа: Беселеві функції
Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де
,
,
– будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел
,
.
Перше з рівнянь (3) у випадку ,
називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку
, позначаючи незалежну змінну буквою
(замість
), а невідому функцію – буквою
(замість
), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:
. (4)
Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.
Беселеві функції першого роду
Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:
.
Тоді
,
,
,
.
Отже, приходимо до вимоги
або до нескінченної системи рівнянь
,
яка розпадається на дві системи:
Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі
можна взяти довільно; тоді
… однозначно визначаються (якщо
не є цілим негативним числом). Взявши
,
знайдемо послідовно:
,
,
,
і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:
Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень і, отже, є рішенням рівняння (4) в області
(у випадку цілого
в області
).
Функція