Курсовая работа: Діафантові рівняння

Добуто може бути нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для 𝑘. Перше значення, 𝑘=0, нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для 𝑘:

Отже, знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої четвірки, помножені на 𝑘, де 𝑘 має вище вказане значення.

Для того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо – (3, 4, 5, ). За другу четвірку можна взяти числа , які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:

Тоді для 𝑘 ми отримаємо наступне значення:

а числа

будуть відповідно дорівнювати

Очевидно, що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння

.

Оскільки всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше рівняння задовольняють (при будь яких 𝑟 та 𝑠 ) наступні числа:

В цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши їх. Надаючи 𝑟 та 𝑠 різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв’язків нашого рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на нього ці числа можна поділити. Наприклад, при 𝑟=1, 𝑠=1 отримуємо для 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 наступні значення: 36, 6, 48, , або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8, . Таким чином,

.

2.4 Теорема Лежандра

Розглянемо невизначене рівняння (11). Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:

Теорема 8.

Якщо 𝑎 , 𝑏 і 𝑐 – попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то невизначене рівняння

Має нетривіальні розв’язки в цілих числах 𝑥 , 𝑦 і 𝑧 , тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції