Курсовая работа: Діафантові рівняння

Тоді множина розв’язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел ( ), де , а 𝑡 – будь-яке ціле число.

Доведення .

Нехай - довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто (5)

за умовою задовольняють рівняння (4), тобто

віднявши від рівності (5) останню рівність і поділивши все на 𝑑, отримаємо:

де і – цілі числа. Тоді , причому, маємо , , , де 𝑡 – деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення в (5), отримаємо:

звідки .

Таким чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:

, ,

де 𝑡 – деяке ціле число.

Обернене твердження також правильне. Нехай такий набір пар чисел, що

, .

Безпосередня перевірка показує, що

Тобто - розв'язок діофантового рівняння (4).

Зауваження.

Теорема правильнаі тоді, коли 𝑎 і 𝑏 дорівнюють нулю. Наприклад, при , тобто у випадку рівняння , отримуємо і при для 𝑦 існує єдине значення , а 𝑥 – довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді , , і при будь-якому 𝑡 такі задовольняють рівняння .

Приклад .

Розв’язати рівняння

У цьому рівнянні (50, 42) = 2. 34. Розглянувши конгруенцію знаходимо:

, так що 25.

Будь-який розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд:

§2. Невизначені рівняння вищих порядків

2.1 Рівняння . Піфагорові трійки

Розв'язок невизначеного рівняння в цілих числах.