Курсовая работа: Діафантові рівняння

Нехай 𝑥 – парне, 𝑦 – непарне, тоді 𝑧 – непарне. Візьмемо

отримаємо .

𝑡 і 𝑢 – взаємно прості. Дійсно, якщо 𝑡 і 𝑢 мали спільний множник , то 𝑑 містився б в , а це неможливо, бо 𝑦 та 𝑧 є взаємно простими.

Тому 𝑡 та 𝑢 повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо

Таким чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо

Але так як 𝑡 та 𝑢 взаємно прості, то для кожного 𝑖 одне із чисел дорівнює нулю і тому інше дорівнюватиме . Отже, всі показники в розкладах чисел 𝑡 та 𝑢 парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:

Звідси

(5)

Таким чином кожен розв'язок рівняння у взаємно простих цілих числах повинен представлятись у вигляді (5), де - взаємно прості цілі числа, із яких одне парне, а інше не парне (інакше 𝑦 і були б парними одночасно). І навпаки, якими не були б взаємно прості цілі числа

різної парності, числа 𝑥, 𝑦, 𝑧 – складені з них по формулам (5) і дають розв’язки рівняння у взаємно простих числах. Дійсно, перш за все

Крім того , якщо б 𝑦 та ділились на просте число 𝑑, то також
ділись би на 𝑑, і так, як 𝑑 не може дорівнювати 2 (бо в силу різної парності чисел , 𝑦 і 𝑧 непарні), внаслідок того, що добуток двох чисел ділиться на просте число, то одне із чисел обов’язково ділиться на цей простий дільник, випливає ,що повинні ділитися на 𝑑, а це суперечить тому, що числа є взаємно простими. Отже, 𝑦 та 𝑧, а також і вся трійка 𝑥, 𝑦,𝑧 – взаємно прості.

Таким чином формули (5) при взаємно простих різної парності, дають всі розв’язки рівняння у взаємно простих цілих числах.

Доведення теореми Ферма для четвертих степенів.

Доведемо наступну теорему:

Теорема 5.

Рівняння не має розв’язків у цілих числах, відмінних від нуля, і більше того: рівняння не має відмінних від нуля цілих розв’язків.

Доведення.

Припустимо, що існує система відмінних від нуля розв’язків останнього рівняння. Тоді серед цих систем розв’язків повинна існувати така, для якої 𝑧 приймає найменше можливе значення. Покажемо, що 𝑥 та 𝑦 при цьому взаємно прості. Дійсно, якби 𝑥 і 𝑦 мали спільний дільник 𝑑, то 𝑧 ділилось би на 𝑑 і цілі числа давали б систему розв’язків з меншим 𝑧.

Як і в попередньому дослідженні рівняння , впевнюємось в тому, що із пари чисел 𝑥, 𝑦 одне повинне бути парним, а друге непарним.

Нехай 𝑥 – парне. На основі виведених вище формул (5) маємо

Причому 𝑢 і 𝑣 – взаємно прості числа, одне із яких парне, а інше непарне. Якщо 𝑢 було парним, 𝑣 – непарним, то мало б вигляд , що неможливо, бо квадрат непарного числа завжди має вигляд 4𝑚+1. Тому , і так як і 𝑢 та 𝑞 взаємно прості, то аналогічно впевнюємось в тому, що

де 𝑠 і 𝑟 взаємно прості, причому 𝑟 непарне.