Курсовая работа: Діафантові рівняння

,

де та 𝑦 взаємно прості. Перша із цих рівностей, як і вище показує, що

а це в поєднанні з іншою рівністю дає .

Але очевидно, , таким чином ми прийшли до рівняння того ж вигляду , але з меншим 𝑧, що суперечить припущенню про мінімальність 𝑧.

Піфагорові трійки.

Кожний трикутник , сторонни сторони якого відносяться, як3 : 4 : 5, згідно іззагальновідомою теоремою Піфагора – прямокутний, оскільки .

Крім чисел 3, 4, 5, існує як відомо, безліч цілих додатних чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, які задовольняють відношення:

.

Числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 називаються піфагоровими числами . Згідно з теоремою Піфагора такі числа можуть служити довжинами сторін деякого прямокутного трикутника, тому 𝑎 і 𝑏 називають катетерами, 𝑐 – гіпотенузою.

Зрозуміло, що якщо 𝑎, 𝑏, 𝑐 є трійкою піфагорових чисел, то і 𝑝𝑎, 𝑝𝑏, 𝑝𝑐, де 𝑝 – цілий множник, - піфагорові числа. І навпаки, якщо піфагорові числа мають спільний множник, то на цей множник можна скоротити, і знову отримаємо трійку піфагорових чисел.

Тому спочатку будемо досліджувати лише трійки взаємно простих піфагорових чисел (решта отримається із їх множення на цілий множник 𝑝).

Покажемо, що в кожній із таких трійок 𝑎, 𝑏, 𝑐 один із катетів повинен бути парним, а другий непарним.

Міркування проводитимемо від супротивного. Якщо два катета 𝑎 та 𝑏 парні, то парним буде і число , а значить і гіпотенуза 𝑐. Це, суперечить тому, що числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 не мають спільних множників, так, як три парні числа мають спільний множник 2. Таким чином принаймні один із катетів повинен бути непарним. Дійсно, якщо катети мають вигляд 2𝑥+1 та 2𝑦+1, то сума їх квадратів рівна

тобто представляє собою число, яке при діленні на 4 дає в остачі 2. Між іншим квадрат всякого парного числа повинен ділитися на 4 без остачі. Значить, сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом парного числа, інакше кажучи, наші три числа не піфагорові.

Отже із катетів 𝑎, 𝑏 один парний, а інший непарний. Тому число непарне, а значить непарна і гіпотенуза 𝑐.

Припустимо, для визначеності, що непарним є катет 𝑎, а парним 𝑏. Із рівності

.

ми легко отримаємо:

.

Множники, правої частини рівності, взаємно прості. Дійсно, якщо б ці числа мали спільний множник, відмінний від одиниці, то на цей множник ділилась би і сума

І різниця

І добуток

Тобто числа 2𝑐, 2𝑏, і 𝑎 мали б спільний множник. Так як 𝑎 непарне, то цей множник відмінний від двійки, і тому цей же множник мають числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, чого бути не може.

Отримана суперечність показує, що числа взаємно прості.

Але якщо добуток взаємно простих чисел є точним квадратом, то кожне із них є квадратом, тобто