Курсовая работа: Діафантові рівняння

Після Баше в XVII і XVIII століттях різні алгоритми для розв'язку невизначеного рівняння першого степеня з двома невідомими давали Роль, Ейлер та інші математики.

Ланцюгові дроби для розв'язку таких рівнянь були застосовані вперше Лагранжем. Пізніше діофантові рівняння стали записувати і розв’язувати у формі конгруенцій.

У серпні 1900 року в Парижі відбувся ІІ міжнародний конгрес математиків. 8 серпня Д. Гільберт прочитав на цьому конгресі доповідь «Математичні проблеми». Серед 23 проблем, розв'язок яких, як вважав Гільберт, було необхідно отримати в наступному XX столітті , десяту проблему він сформулював наступним чином:

«Нехай задано діофантове рівняння з довільним числом невідомих і раціональними числовими коефіцієнтами. Вказати спосіб, за допомогою якого можна після скінченного числа операцій встановити, чи розв’язне це рівняння в цілих числах ».

Гіпотезу, що такого способу не існує, першим сформулював (з вагомими на те доказами) американський математик М. Девіс у 1949 році. Доведення цієї гіпотези затягнулося на 20 років – останній крок був зроблений в 1970 році Юрієм Володимировичем Мятиясеєвичем , на першому році аспірантури він показав алгоритмічну нерозв’язність 10 –ї проблеми Гільберта.

Проте, якщо про довільне діофантове рівняння не можна сказати чи має воно цілі корені, чи не має, то проблема існування цілих коренів лінійного діофантового рівняння розв’язана.

Курсова робота складається з двох розділів. У першому розділі розглядаються лінійні діофантові рівняння, основні теореми, що дають можливість знаходити розв’язки цих рівнянь або визначати їх кількість, а також деякі невизначені рівняння вищих порядків , що розв’язуються в цілих додатних числах за відомими алгоритмами.

У другому розділі наведені приклади лінійних діофантових рівнянь, рівнянь другого і третього порядку, показані різні методи їх розв’язання. Застосовується техніка від розгляду елементарних конгруенцій до використання більш тонких результатів теорії алгебраїчних чисел. В додаток до доведень існування чи не існування розв’язків ми отримуємо також результати про їх кількість.

Розділ І . Загальні теоретичні відомості

§1.Лінійні діофантові рівняння

Діофантовим рівнянням першого степеня з 𝑛 невідомими називається рівняння вигляду

=𝑏, (1)

де всі коефіцієнти і невідомі – цілі числа і хоча б одне

Розв’язком діофантового рівняння (1) називається комплекс цілих чисел , які задовольняють це рівняння.

Якщо рівняння (1) однорідне, то відмінний від (0, … ,0) розв'язок називається нетривіальним. Розв'язок рівняння (1) в раціональних числах називається раціональним.

Теорема 1 .

При взаємно простих коефіцієнтах діофантове рівняння

=1 (2)

має розв’язки в цілих числах.

Доведення.

Позначимо через М множину тих додатних цілих чисел 𝑏, для яких рівняння

=𝑏

Має розв’язки в цілих числах. Множина М, очевидно, не порожня, оскільки при заданих можна підібрати цілі значення, так щоб було додатним числом.

В множині М існує найменше число, яке ми позначимо через 𝑑 (𝑑). позначимо через , цілі числа такі, що

=𝑑.

Нехай =𝑏𝑞+𝑟, де ; тоді

.

Ми підібрали цілі значення: , такі, що = 𝑟, але , а 𝑑 – найменше додатне число в М, тобто 𝑟 не може бути додатним, 𝑟.

Аналогічно отримуємо.