Курсовая работа: Діафантові рівняння

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже розглядувані піфагорові числа мають вигляд

Де 𝑚 та 𝑛 – деякі взаємно прості непарні числа. Легко впевнитись в тому, що при будь яких таких 𝑚, 𝑛 ми отримаємо трійки піфагорових чисел. Розглянемо деякі піфагорові трійки, отримані при певних значеннях 𝑚 та 𝑛:

Всі інші трійки піфагорових чисел або мають спільні множники, або містять числа більше ста.

2.2 Невизначене рівняння Ферма

Розглянемо тепер рівняння вигляду (6).

Рівняння (6) називають невизначеним рівнянням Ферма , яке має велике значення у всій теорії діофантових рівнянь. Ми доведемо, що при кожному натуральному значенні 𝐷, відмінному від повного квадрата, це рівняння має нескінченно багато розв’язків в цілих числах, і знайдемо загальний метод знаходження всіх його розв’язків.

Теорема 6.

Нехай 𝐷 – ціле додатне, вільне від квадратів число і ( ) – розв'язок діофантового рівняння (6), тоді є чисельником і знаменником відповідно одного із підхідних дробів до .

Доведення. Із випливає, що і