Курсовая работа: Діафантові рівняння

Теорема 2

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник коефіцієнтів . Діофантове рівняння

=1

має розв’язки тоді і тільки тоді, коли 𝑏 . Кількість розв’язків такого рівняння дорівнює нулю, або нескінченності.

Доведення.

Доведемо послідовно три твердження теореми.

1) Нехай 𝑏. Для рівняння

існують цілі числа: , які задовольняють його, тобто такі, що

Тоді

тобто

2) Нехай тепер . Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях ділиться на 𝑑, а права частина на 𝑑 не ділиться, так, що рівність (2) при цілих значеннях неможлива.

3) Якщо - набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори при також задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде розв’язків , або їх буде безліч.

Якщо хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то 𝑑 = 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв’язків.

Приклад.

1. Діофантове рівняння не має розв’язків , бо у даному випадку 𝑑 = 3 і 100 не ділиться на 3.

2. Діофантове рівняння має нескінченну кількість розв’язків, оскільки 𝑑 = 1.

Теорема 3.

Якщо задовольняє конгруенцію

,

то є розв’язком діофантового рівняння

(4)

Доведення.

Із випливає, що - ціле число, і безпосередня підстановка показує, що

Теорема 4.

Нехай 𝑑 – найбільший спільний дільник чисел 𝑎 і 𝑏 , де і - деякий розв'язок діофантового рівняння: