Курсовая работа: Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 2.16 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на П,

а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], мо функция

I(у), определяемая этим интегралом, непрерывна на [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n N) непрерывны на отрезке [с; d]. По лемме 2.1 последовательность функций I(y) (n N)

сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции ‚I(у). Но тогда по теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных

функций функция I(у) непрерывна на отрезке [с; d]. ■

Следующая теорема является в некотором роде обратной к предыдущей.

Теорема 2.17 (Дини) Если функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна П, а функция I(у), определяемая интегралом (2.13), непрерывна на отрезке [с; d], то интеграл (2.13) сходится равномерно на

отрезке [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n N) (см. (2.19))

непрерывны на отрезке [с