Курсовая работа: Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b]

при любом О<δ<δ-a, то сходится тогда и только тогда, когда такое, что а’, а” : а <а’, а” < а + δ. Будет выполняться условие

Это утверждение доказывается так же, как и аналогичное утверждение

для несобственных интегралов первого рода. Так же вводится понятие

абсолютной и условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса.

Интегралы в смысле главного значения

Определение 2. 5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл

не существует. Тогда, если существует , мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом

(p.)

Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]\{с} → R, а < с < b , неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках

[а; с — δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но не существует. Тогда, если существует

то он называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом

(p.)

Пример 2.6 Рассмотрим

Решение. Это — расходящийся интеграл второго рода, поскольку показатель степени p =1. Однако

Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и

(p.) ■

Пример 2.7 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~. Но

Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и (p.) ■

2.2 Собственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] R, Y- любое множество,

а [а; b] х Y = {(х, у): х [а; b], уY}. Предположим, что функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].

Определение 2.7 Функцию

(2.1)

определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем

называть собственным интегралом, зависящим от параметра.

Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:

У = [с; d] R, и введя обозначение

П [а b] х [с; d] = {(х, у): х [а; b], у [с; d]}.

Теорема 2.7 Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].

Доказательство. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое [с; d] и

любое > 0 и покажем, что найдётся > 0 такое, что если у [с; d] и

, то будет выполняться неравенство