Курсовая работа: Интегралы, зависящие от параметра

только от , такое, что будет выполняться неравенство

(2.15)

Доказательство. Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое > 0, подберем так, чтобы для

любых А> А и у выполнялось неравенство .

Возьмём любые и любое у . Тогда

и необходимость доказана.

Наоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного у . Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у интеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у

существует Поэтому, положив в (2.15) и устремив А" к +∞, получим для любого у

что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13). ■

Теорема 2.13 (Вейерштрасс ) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых

А(> а) и у функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].

Пусть g : [а; +∞) →R, для всех х [а; +∞), у выполняется

неравенство и сходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.

Доказательство . По критерию Коши для несобственных интегралов

первого рода (см. 2.1) для любого > 0 найдётся такое, что для

любых будет выполняться неравенство Но тогда для любого у , для любых имеем:

Остаётся применить теорему 2.12. .

Пример 2.11 Рассмотрим

Решение . Этот интеграл сходится равномерно на R, так как имеет место

Оценка а сходится. ■

Теорема 2.14 (Дирихле) Пусть функции f, g: [а; +∞) х Y→ R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у . Тогда

сходится равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:

1) равномерно ограничен на [а; +∞), то есть, существует постоянная М такая, что для любых А> а и у

2)функция у(х, у) монотонно по х при каждом у и равномерно по у стремимся к нулю при х→+∞.

Доказательство. Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы 2.4, нужно лишь проследить, чтобы все оценки выполнялись равномерно по параметру.

По первому условию существует постоянная М такая, что для всех

A> а и у имеет место оценка:

(2.16)

По второму условию для любого > 0 найдётся (> а) такое, что