Курсовая работа: Колебания
(5.2)
Представив В в виде beiδ , имеем для b и δ :
(5.3)
Наконец, отделив вещественную часть от выражения Beiγt = bei (γ t +δ) , получим частный интеграл уравнения (5.1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ω0>λ), получим окончательно:
х = ае -λt cos ( ω t+ a ) + b cos ( γ t + δ ). (5.4)
Первое слагаемое экспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член:
x = b cos (γ t + δ). (5.5)
Выражение (5.3) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты γ к ω0 , но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трения. При заданной амплитуде силы f амплитуда колебания максимальна при частоте
при λ<<<ω0 это значение отличается от ω0 лишь на величину второго порядка малости.
Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим γ = ω0 + ε, где ε — малая величина; будем также считать, что λ<<ω 0 . Тогда в (5.2) можно приближенно заменить:
так что
(5.6)
или
(5.7)
Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз δ между колебанием и вынуждающей силой при изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т. е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны γ < ω0 , δ стремится к нулю, а со стороны γ > ω0 — к значению — π. Изменение δ от нуля до — π происходит в узкой (ширины ~ λ) области частот, близких к ω0; через значение -π/2 разность фаз проходит при γ = ω0. Отметим в этой связи, что в отсутствие трения изменение фазы вынужденного колебания на величину π происходит скачком при γ = ω0 (второй член в (2.4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок.
При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (5.5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим посредством I (γ) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы. Согласно (4.13) имеем: I ( γ ) = 2F ,
где F — среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (4.11) диссипативной функции сводится к
Подставив сюда (5.5), получим:
Среднее по времени значение квадрата синуса равно ½ , поэтому
I (γ) = λ mb ²γ² . (5.8)
Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (5.7), имеем:
(5.9)