Курсовая работа: Колебания
(3, 2)
где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения. Поскольку коэффициенты kik и kki входят в (3, 2) умноженными на одну и ту же величину xi xk , то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам
В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид
полагаем в коэффициентах qi = qi 0 и, обозначая постоянные aik ( qo ) посредством mik , получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы
(3,3)
Коэффициенты mlk тоже можно всегда считать симметричными по индексам
mik = mki
Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания:
(3, 4)
Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в них производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа
Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках i на k , a k на i ; учитывая при этом симметричность коэффициентов mik и kik , получим:
Отсюда видно, что
Поэтому уравнения Лагранжа
(3,5)
Они представляют собой систему s(i = l, 2, … , s) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
По общим правилам решения таких уравнений ищем s неизвестных функций xk (t) в виде
(3,6)
где Аk — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя (3,6) в систему (3,5), получаем по сокращении на 
систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные Аk :
(3,7)
Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель
(3,8)
Уравнение (3,8)—так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени s относительно ω2 . Оно имеет в общем случае s различных вещественных положительных корней ω²a ,