Курсовая работа: Колебания

(2,2)

где мы снова ввели частоту со свободных колебаний.

Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух выражений: х = х₀ + х 1 , где х₀ — общее решение однородного уравнения, a х 1 — частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае х₀ представляет собой рассмотренные свободные колебания.

Рассмотрим представляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой у :

F ( f ) = fcos ( yt + β). (2,3)

Частный интеграл уравнения (2,2) ищем в виде х 1 = b cos ( yt +β) с тем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: b = f / m (ω²- y ²) ; прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде

(2,4)

Произвольные постоянные а и α определяются из начальных условий.

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебаний — с собственной частотой системы ω и с частотой вынуждающей силы у .

Решение (2,4) неприменимо в случае так называемого резонанса , когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепишем выражение ,(2,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде

При у → ω и второй член дает неопределенность вида 0/0. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим:

(2,5)

Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой).

Выясним еще, как выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда

у = ω + ε , где ε — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как

(2,6)

Так как величина мало меняется в течение периода 2π/ω множителя , то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой

Обозначив последнюю через С , имеем:

Представив А и В соответственно в виде и получим:

(2,7)

Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой ε , меняясь между двумя пределами

Это явление носит название биений .

Уравнение движения (2,2) может быть проинтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе F ( t ) , Это легко сделать, переписав его предварительно в виде

или