Курсовая работа: Колебания
(4.3)
Следуя общим правилам решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, полагаем х — ert и находим характеристическое уравнение
Общее решение уравнения (4.3) есть
Здесь следует различать два случая.
Если λ < ω0, то мы имеем два комплексно сопряженных значения r . Общее решение уравнения движения может быть представлено в этом случае, как
где А — произвольная комплексная постоянная. Иначе можно написать:
(4.4)
где а и α — вещественные постоянные. Выражаемое этими формулами движение представляет собой так называемые затухающие колебания. Его можно рассматривать как гармонические колебания с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды определяется показателем λ, а “частота’’ ω колебаний меньше частоты свободных колебаний в отсутствие трения; при λ<<ω0 разница между ω и ω0— второго порядка малости. Уменьшение частоты при трении следовало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение.
Если λ<<ω0 , то за время одного периода 2π/ω амплитуда затухающего колебания почти не меняется. В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты и скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя е-λ t . Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны е-2λ t . Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону
(4.5)
где Е0 — начальное значение энергии.
Пусть теперь λ > ω0 . Тогда оба значения r вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения
(4.6)
Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании |x|, т. е. в асимптотическом (при t → ∞) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим затуханием.
Наконец, в особом случае, когда λ = ω0 , характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень r = ― λ . Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид
(4.7)
Это — особый случай апериодического затухания, Оно тоже не имеет колебательного характера.
Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам xi , являются линейными функциями скоростей вида
(4.8)
Из чисто механических соображений нельзя сделать никаких заключений о свойствах симметрии коэффициентов а ik по индексам i и k . Методами же статистической физики можно показать, что всегда
aik = aki . (4.9)
Поэтому выражения (4.8) могут быть написаны в виде производных
(4.10)