Курсовая работа: Колебания

(1,5): cos ωt и sin ωt, так что его общее решение

(1,7)

Это выражение может быть написано также и в виде

(1,8)

Поскольку cos (ωt + α) = cos ωt cos α — sin ωt sin α, то сравнение с (1,7) показывает, что произвольные постоянные связаны с постоянными

соотношениями

(1.9)

Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическом множителе в (1,8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой ; а есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой , что мы и будем делать в дальнейшем.

Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле (1,6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты.

Энергия системы, совершающей малые колебания, есть

или, подставив сюда (21,8):

(1,10)

Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения

(1,11)

где А — комплексная постоянная; написав ее в виде

A = ae^ia , (1,12)

мы вернемся к выражению (1,8). Постоянную А называют комплексной амплитудой ; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент — с начальной фазой.

Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений.

Вынужденные колебания

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х.

В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией ½ kx ² система обладает еще потенциальной энергией U_{e (} x , t ) , связанной с действием внешнего поля. Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим:

Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по t от некоторой другой функции времени). Во втором члене — dUe / dx есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как F ( t ) . Таким образом, в потенциальной энергии появляется член — xF ( t ) , так что функция Лагранжа системы будет:

(2,1)

Соответствующее уравнение движения есть